Im Gegensatz zur logistischen Abbildung und zur Hénon-Abbildung beschreiben die Lorenzgleichungen ein zeitkontinuierliches System. Edward N. Lorenz stellte diese dreidimensionale Differentialgleichung als näherungsweise gültiges Modell zur Beschreibung des Rayleigh-Benard-Experimentes (siehe dort die Bedeutung der Parameter) auf [Lorenz63].

Setzt man zwei der Systemparameter auf die häufig gebrauchten Werte  = 10 und b = 8/3 und variiert den dritten, zeigt das System folgenden Weg ins Chaos [Sparrow82], [Jackson85]:

Für 0 < R < 1 ist der Ursprung (0,0,0) globaler stabiler Fixpunkt Bei R=1 wird dieser Fixpunkt instabil und es entstehen zwei neue stabile Fixpunkte C₊ = ((b(R-1))^1/2, (b(R-1))^1/2 , R-1) und C_- = (-(b(R-1))^1/2, -(b(R-1))^1/2, R-1). Die Attraktionsbasins dieser beiden Punkte werden durch die stabile Mannigfaltigkeit des Ursprungs von einander getrennt. Für R=R_ho=13.926... enthält diese Mannigfaltigkeit einen homoklinen Orbit und ändert für R>R_ho ihre Topologie dramatisch. Im oberen Halbraum des Phasenraums, Z>0, sind dann unendlich viele Blätter dicht geschichtet, die auf komplizierte Weise ineinander verwoben sind, s. Skizzen in [Jackson85]. Zugleich entstehen abzählbar unendlich viele instabile periodische Orbits. Bei R=24.74... verlieren die beiden Fixpunkte C₊ und C_- ihre Stabilität in einer Hopfbifurkation und der Lorenzattraktor entsteht.

Das Lorenzsystem ist nicht für alle Werte von R > 24.74... chaotisch, sondern es existieren Bereiche mit stabilen periodischen Lösungen, die über Periodenverdopplungen in chaotische Bereiche übergehen. Ähnliche Fenster sind im Feigenbaumdiagramm der logistischen Abbildung zu sehen, allerdings treten die Periodenverdopplungen beim Lorenzsystem in Richtung abnehmender Werte von R auf. Hier die Parameter für 3 Fenster (alle aus [Sparrow82]), wobei P für eine Schleife um C₊ und N für eine Schleife um C_- steht:

Andere dreidimensionale autonome Differentialgleichungssysteme, die auch chaotische Attraktoren besitzen, sind z.B. der Chua-Oszillator, das Rössler-System oder die Rabinovich-Fabrikant-Gleichungen.

Literatur

Neben der oben erwähnten (vergriffenen?) Monographie [Sparrow82] und dem Artikel [Jackson85] findet man auch wieder in [Guckenheimer83] oder [Schuster88] viele Informationen zum Lorenzsystem, das in [Lorenz63] zuerst beschrieben ist. In [Morioka78] und [Shimizu78] wird systematisch numerisch untersucht, in welchen Bereichen der Rayleighzahl periodische und in welchen Bereichen chaotische Lösungen existieren. In [Shimuzu79] wird im Grenzfall hoher Rayleighzahlen eine Methode vorgestellt, eine Erhaltungsgröße des (dissipativen!) Systems und daraus einen einfachen instabilen periodischen Orbit analytisch zu ermitteln. In [Froyland84] wird die Abhängigkeit des größten Lyapunov-Exponenten von der Raleighzahl numerisch untersucht. Für den Wert  = 10 wird die Abhängigkeit des Systemverhaltens von den beiden anderen Parametern in [Alfsen85] analysiert. In [Broggi90] wird vorgeschlagen, das System durch seine hierarchisch geordneten instabilen periodischen Orbits zu beschreiben. Auch [Franceschini93] verfolgt diesen Ansatz und ermittelt so die Hausdorff-Dimension und die topologische Entropie des Attraktors. In [Leonow87] wird analytisch der Bereich des Phasenraums eingegrenzt, in dem der Attraktor sich befindet. Einen mathematischen Existenzbeweis für homokline und heterokline Orbits des Fixpunktes im Ursprung des Lorenzsystems liefert [Spreuer93].