E

Einbettung einer Zeitreihe

siehe Delay-Koordinaten .

Ergodentheorem

F

Feigenbaumkonstanten

Für die Bifurkationspunkte von Abbildungen mit einem quadratischen Maximum, wie z. B. die logistische Abbildung, gelten folgende Regeln [Grossmann77], [Feigenbaum78]:

• der Quotient der Abstände zweier aufeinander folgender Bifurkationspunkte konvergiert gegen die Feigenbaumkonstante = 4.6692016...
• Zyklen, die das Maximum der Abbildung enthalten, heißen Superzyklen. Der Quotient der Abstände von Systemparameterwerten, bei denen Superzyklen vorliegen, konvergiert ebenfalls gegen .
• eine weitere Regel betrifft den Abstand den in einem Superzyklus das Urbild des Maximums (z.B. der Wert 1/2 in der logistischen Abbildung) vom nächstgelegenen Punkt dieses Superzyklus hat. Der Quotient dieser Abstände in aufeinanderfolgenden Superzyklen konvergiert gegen die Feigenbaumkonstante = 2.5029078...

Im Experiment zur logistischen Abbildung lassen sich Superzyklen z.B. für folgende Systemparameterwerte finden: r=2.0, r=3.236..., r=3.498..., r=3.831...

Fluss, Flussfeld, linearisierter Fluss

Die Bewegungsgleichungen eines dynamischen System lassen sich ganz allgemein als dx/dt = F(x) schreiben, wobei x ein Systemzustand und x und F vektorwertig sind. Die Funktion F(x) heißt  dann das Flussfeld der Bewegung.

Die Menge {f^t} der Lösungen dieser Differentialgleichungen für alle Anfangsbedingungen x und ein festes Zeitintervall t heißt der zu t gehörende Fluss des Systems. Er ist im allgemeinen global unbekannt, aber lokal, also für einzelne x durch numerische Integration der Bewegungsgleichung bestimmbar.

Die zeitliche Entwicklung eines zu einer Anfangsbedingung x(0) (infinitesimal) eng benachbarten Punktes x(0)+(0) ist durch den linearisierten Fluss Df^t gegeben: . 

Fraktal

G

Grassberger-Procaccia-Analyse

H

Hamiltonsches Chaos

Hausdorff-Dimension

Anderer Name für die Kapzität D_K eines Attraktors, s. Dimension, fraktale .

Henon-Heiles-System

Homokliner Orbit

Die stabile und die instabile Mannigfaltigkeit eines instabilen Fixpunktes einer Abbildung können bei bestimmten Systemparameterwerten zusammenfallen oder sich unter einem von Null verschiedenen Winkel ("transversal") schneiden. Ein solcher Schnittpunkt heißt homokliner Punkt des Fixpunktes (siehe z.B. [Leven89]). Die Iterationen eines homoklinen Punktes sind, ebenso wie seine Urbilder, auch homokline Punkte, liegen also auch sowohl auf der stabilen als auch der instabilen Mannigfaltigkeit des Fixpunktes. Die Menge dieser Iterationen und Urbilder heißt homokliner Orbit des Fixpunktes.

Auch bei zeitkontinuierlichen Systemen treten homokline Orbits auf. So führt z.B. die instabile Mannigfaltigkeit des Fixpunktes, den das ungetriebene, ungedämpfte Pendel an seiner höchsten Position hat (Auslenkung von 180°), wieder zu diesem Punkt zurück und bildet so gleichzeitig seine stabile Mannigfaltigkeit. Ein Beispiel für den Verlauf einer Trajektorie in der Nähe eines nichttransversalen homoklinen Orbits zeigt auch das Experiment zum Lorenzsystem. Die Existenz eines transversalen homoklinen Orbits ist sogar (notwendige, aber nicht hinreichende) Voraussetzung für das Auftreten eines seltsamen Attraktors [Guckenheimer83].

Von heteroklinen Orbits spricht man, wenn die stabile Mannigfaltigkeit eines IPOs oder Fixpunktes die instabile Mannigfaltigkeit eines anderen IPOs oder Fixpunktes schneidet.

Hyperchaos

Nichtlineare dynamische Systeme, deren Lyapunovspektrum zwei (oder mehr) positive Exponenten enthält, werden mitunter als hyperchaotisch bezeichnet.

I

Ikeda-Abbildung

Zweidimensionale Abbildung der komplexen Zahlenebene auf sich selbst:

Sie beschreibt das Lichtfeld, das einen Ringresonator verläßt, der von Laserpulsen gespeist wird und ein nichtlineares Dielektrikum enthält [Hammel85]. Da die z_n komplexe Zahlen mit voneinander unabhängigem Real- und Imaginärteil sind, ist diese Gleichung zweidimensional. i ist die imaginäre Einheit. Für eine geeignete Wahl der Systemparameter, z.B.  folgt die Reihe der z_n einem chaotischen Attraktor:

IPOs - instabile periodische Orbits

(engl.: UPOs) In einem chaotischen Attraktor sind unendlich viele instabile periodische Orbits eingebettet, der Attraktor bildet den Abschluß der Menge dieser Orbits [Ruelle78]. Diese Orbits lassen sich hierarchisch anordnen: es gibt einige wenige mit kurzer Periode und immer mehr mit wachsender Länge der Periode. Teilstücke von längeren Orbits sind häufig kurzen Orbits benachbart (vgl. z. B. im Lorenz-Applet die beiden IPOs PN und PPNN - letzterer läßt sich in zwei Teile zerlegt denken, die beide dem ersteren eng benachbart sind). Ausgehend von Orbits kurzer Periode lassen sich dynamische und geometrische Eigenschaften eines chaotischen Attraktors unter Berücksichtigung von IPOs immer längerer Periode beliebig genau approximieren [Auerbach87], [Auerbach87a], [Gunaratne87], [Cvitanovic88].

IPOs sind periodische Lösungen der Bewegungsgleichungen eines chaotischen dynamischen Systems,  also geschlossene Kurven im Phasenraum. Aufgrund der Instabilität dieser Lösungen werden sie vom System aber nicht angenommen, sondern das System kann sich nur für kurze Zeit in ihrer Nähe aufhalten. Sie sind vergleichbar mit der Gleichgewichtslage eines senkrecht aufgestellten Stocks - die geringste Störung reicht aus, um das System Stock aus diesem Gleichgewicht zu bringen. Allerdings kann es gelingen, das System durch minimale äußere Eingriffe auf einem IPO zu stabilisieren, ungefähr so, wie sich ein Stock auf einer Fingerspitze balancieren läßt. Das ist die Idee der OGY-Steuerung. Die Dynamik in der lokalen Umgebung eines IPOs wird durch seine stabile und instabile Mannigfaltigkeiten bestimmt.

Die Lyapunovspektren von IPOs unterscheiden sich im allgemeinen von denen des Attraktors. So findet man z.B. für das Lorenzsystem folgende Werte [Doerner93], die Ziffern in runden Klammern geben dabei die Unsicherheit in der letzten Stelle an:

Die Lyapunovspektren von IPOs erhält man aus den Eigenwerten des linearisierten Flusses, den man durch Integration der Bewegungsgleichungen entlang des IPOs bestimmt. Das Zeitintervall, über das integriert wird, ist dabei die Periode des IPOs. Auffällig sind die hohen Lyapunovexponenten des Fixpunktes (0,0,0) beim Lorenzsystem und des IPOs j beim Pendel. Diese besonders instabilen Objekte beeinflussen entscheidend die kurzfristige Vorhersagbarkeit des Systems.

J

Juliamenge

Die Juliamenge zu einer komplexen Zahl c ist die Menge derjenigen komplexen Zahlen z₀, für die die Reihe

 z_n+1=z_n² +c nicht divergiert. Siehe auch die Illustration unter Mandelbrotmenge.

K

KAM-Theorem

KAM-Torus

Kaplan-Yorke-Abbildung

Zweidimensionale Abbildung:

Kaplan-Yorke-Vermutung

liefert einen Zusammenhang zwischen der (Hausdorff-) Dimension eines Attraktors und seinen Lyapunovexponenten [Kaplan79]:

K-Entropie, Kolmogorov-Sinai-Entropie

konservativ

Ein dynamisches System heißt konservativ, wenn die Divergenz seines Flussfeldes verschwindet. In sehr guter Näherung sind z. B. Systeme von Himmelskörpern, die miteinander gravitativ wechselwirken (etwa Sonne mit Planeten,  Planeten und Monde), konservativ. Siehe auch dissipativ.

L

Liouville, Satz von

Die zeitliche Entwicklung der Größe eines Phasenraumvolumens V(t) (d. h. der Zustände eines Ensembles von dynamischen Systemen, deren Anfangszustände in diesem Volumen liegen) hängt von der Divergenz des zugrundeliegenden Flussfeldes ab. Bei konstanter Divergenz gilt:

V(t) = V(0) exp (divF t)

Das bedeutet insbesondere, daß bei konservativen Systemen dieses Volumen konstant ist und daß es bei dissipativen Systemen exponentiell abnimmt, siehe z. B. [Goldstein83], [Leven89]. Unsere Beispielsysteme getriebenes Pendel und Lorenzsystem haben beide konstante negative Divergenz, und zwar beim Pendel und  beim Lorenzsystem. Als unmittelbare Folge des Satzes von Liouville ergibt sich, daß im Falle konstanter Divergenz auch die Summe aller Lyapunovexponenten eines Systems konstant und gleich der Divergenz sein muß, ebenso die Summe aller effektiven Lyapunovexponenten zu einer Anfangsbedingung und einem Zeitintervall:

  und .

Lokale Steuerung

Die Methode der lokalen Steuerung eines chaotischen Systems ist der OGY-Methode eng verwandt. Im Gegensatz zur OGY-Methode, bei der ein Steuersignal beim Durchgang durch eine bestimmte Poincaré-Ebene berechnet wird und dann bis zum nächsten Durchgang konstant gehalten wird, arbeitet die lokale Steuerung aber mit einer größeren Anzahl von Poincaré-Ebenen [Hübinger93], [Hübinger93a], [Hübinger94a]. Dadurch ist es möglich, auch extrem instabile Orbits, wie z.B. die des getriebenen Pendels zu stabilisieren. Das Regelsignal wird so berechnet, daß zwischen je zwei aufeinanderfolgenden Poincaré-Schnitten die Projektion des Abstandes des Systems vom Zielorbit auf die Richtung größter lokaler Divergenz kleiner wird.

Anders als die OGY-Steuerung setzt die lokale Steuerung keine Periodizität der Zieltrajektorie voraus. Das heißt, daß mit der lokalen Steuerungsmethode beliebige Lösungen der Bewegungsgleichungen eines Systems stabilisiert werden können, insbesondere auch nicht-periodische Trajektorien [Hübinger93a].

Lyapunov-Exponent

ist ein Maß für die mittlere zeitliche Divergenz von (infinitesimal) eng benachbarten Trajektorien. In einem System mit n-dimensionalem Phasenraum hat man es eigentlich immer mit einem Spektrum von n Lyapunov-Exponenten   zu tun, von denen der größte das Systemverhalten charakterisiert. In einer chaotischen Bewegungsphase ist er positiv und der Abstand zweier infinitesimal eng benachbarter Trajektorien wächst für große Zeiten (d. h. im Limit t nach unendlich) proportional zu . Das gilt nach dem Theorem von Oseledec für fast alle Anfangsbedingungen mit Ausnahme von Fixpunkten und instabilen periodischen Orbits und deren stabilen Mannigfaltigkeiten.

Betrachtet man die Entwicklung von benachbarten Trajektorien für endliche Zeitintervalle, findet man sehr wohl eine signifikante Abhängigkeit des Divergenz- oder Konvergenzverhaltens nicht nur von der Länge des Zeitintervalls, sondern auch von der Lage der Anfangsbedingungen im Phasenraum. Die beschreibenden Exponenten heißen effektive Lyapunovexponenten . In der Literatur werden sie mitunter auch als lokale Lyapunovexponenten bezeichnet, z. B. in [Abarbanel91], [Abarbanel91b].

M

Mackey-Glass-System

Diese Differentialgleichung wurde aufgestellt, um einen biologischen Vorgang, nämlich die Regeneration von Blutzellen bei Leukämiepatienten, zu modellieren [Mackey77]:

dx/dt = ax(t-s) / {1 + [x(t-s)]^c}  -  bx(t)

Darin bedeutet x(t) die Zellenkonzentration zur Zeit t, und x(t-s) die Konzentration zur früheren Zeit t-s. Um diese Gleichung integrieren zu können, muß man die Größe x nicht nur zu einem Zeitpunkt, sondern den Verlauf während eines Zeitraums der Länge s kennen. Formal hat man damit unendlich viele Anfangsbedingungen und somit eine unendlich-dimensionale Differentialgleichung. Es zeigt sich aber, daß die Dimension des chaotischen Attraktors, der z.B. bei den Parameterwerten a=0.2, b=0.1, c=10.0, s=17.0 vorliegt, nur ca. 2.1 beträgt [Grassberger83b].

Mandelbrotmenge

ist die Menge derjenigen komplexen Zahlen c, für die die Folge z_n+1 = z_n² + c mit z₀ = 0 nicht divergiert. Diese nach ihrem Entdecker (1980) Benoit Mandelbrot benannte Menge ist das wohl bekannteste Fraktal [Mandelbrot82], [Peitgen86]. Wegen ihrer eigentümlichen Ästhetik ist sie geradezu zur Ikone der nichtlinearen Dynamik geworden. Mittlerweile kann man sich auf jedem PC selbst Ausschnitte der Mandelbrotmenge visualisieren, entweder mit selbstgeschriebenen oder fertigen Programmen. Die folgende HTML5-Grafik zeigt links die Mandelbrotmenge und rechts die jeweils zur Cursorposition gehörende Juliamenge:

Mannigfaltigkeiten, stabile und instabile

Die Dynamik eines Systems in der lokalen Umgebung eines IPOs wird durch seine stabile und instabile Mannigfaltigkeiten bestimmt. Diese sind (n-1)-dimensionale Unterräume des n-dimensionalen Phasenraums. Systemzustände auf der stabilen Mannigfaltigkeit W^s konvergieren im Laufe der Zeit gegen den IPO, Systemzustände auf der instabilen Mannigfaltigkeit W^u konvergieren gegen ihn, wenn man die Zeit rückwärts laufen läßt. Wenn nun eine Trajektorie in die Nähe der stabilen Mannigfaltigkeit kommt, nähert sie sich dem Orbit entlang dieser Mannigfaltigkeit, um sich dann entlang der instabilen Mannigfaltigkeit wieder zu entfernen. Je näher das System dabei dem IPO kommt, desto länger "begleitet" es ihn. Das Systemverhalten scheint dann bei oberfächlicher Betrachtung für kurze Zeit periodisch zu sein, um dann wieder irregulär zu werden. Solche Phasen lassen sich gut z. B. im Pendel-Applet beobachten.

Melnikov-Methode

Die Melnikov-Methode ist ein analytisches Verfahren, das es gestattet, für eine bestimmte Klasse von Systemen eine Aussage über die Existenz von chaotischen Lösungen zu treffen. Es handelt sich dabei um nicht-autonome, periodisch schwach angetriebene, schwach gedämpfte Systeme, zu denen ein nicht angetriebenes System mit einem homoklinen Fixpunkt existiert.

Bsp: das getriebene gedämpfte Pendel, wenn Dämpfung   und Antrieb a klein genug sind. Das zugehörige nichtgetriebene System ist das mathematische Pendel mit der Bewegungsgleichung  d/dt (x, v) = (v, -sin(x)) , dessen Fixpunkt ( , 0) einen homoklinen Orbit besitzt.

Man betrachtet nun die Dämpfung und den Antrieb als Störung des ungetriebenen Systems und schreibt die Bewegungsgleichung des getriebenen Systems als Summe aus der des ungestörten Systems und einem Term proportional einem kleinen Störparameter .

Bsp: die Pendelgleichung wird damit zu .

Für genügend kleine  existiert dann ein periodischer Orbit, dessen Schnittpunkt mit jeder Poincaré-Ebene t = const. für verschwindende gegen den Fixpunkt des ungestörten Systems strebt. Anschaulich gesprochen kann man sich den Orbit als aus dem Fixpunkt hervorgegangen vorstellen.

Bsp: das getriebene gedämpfte Pendel hat einen instabilen periodischen Orbit in der Nähe des Überschlagpunktes. Im Experiment läßt sich dieser Orbit als UPO j einstellen. Der Überschlagpunkt ist zugleich der Fixpunkt des ungetriebenen Pendels.

Die Idee der Melnikov-Methode ist nun, zu prüfen, ob und unter welchen Bedingungen sich die stabile und  die instabile Mannigfaltigkeit des periodischen Orbits für genügend kleine unter einem positiven Winkel schneiden (also nicht etwa im Schnittpunkt tangential verlaufen). In diesem Falle liegt ein hyperbolischer Orbit vor und es sind chaotische Lösungen der Bewegungsgleichungen zu erwarten. Für weitere Einzelheiten siehe z. B. [Leven89]. 

N

O

OGY-Steuerung

Verfahren, um ein System in der chaotischen Bewegungsphase zu stabilisieren, indem man seine Trajektorie durch minimale Regeleingriffe entlang eines seiner instabilen periodischen Orbits leitet, benannt nach den Initialen von E. Ott, C. Grebogi und J. A. Yorke, die das Verfahren vorgeschlagen haben [Ott90]. Bei diesem Verfahren wartet man zunächst ab, bis die Trajektorie eine festgelegten Poincaré-Ebene in der Nähe eines IPOs schneidet. Dann wird das Regelsignal eingeschaltet und dadurch die lokale Systemdynamik um den IPO herum verändert. Das Signal ist so bemessen, daß die neue lokale Systemdynamik die Trajektorie bis zum nächsten Durchgang durch die Poincaré-Ebene auf die stabile Mannigfaltigkeit des IPOs des ungestörten Systems leitet, so daß die Trajektorie dann von allein gegen den IPO konvergiert. Da dies nicht exakt gelingen kann und da der IPO instabil ist, muß in jeder Periode ein neues Regelsignal ermittelt werden. Weil die Zieldynamik, auf die das System gelenkt werden soll, eine - wennauch instabile - Lösung der Bewegungsgleichungen ist (ein IPO), ist die Energie, die zur Steuerung notwendig ist, klein im Vergleich zur Bewegungsenergie des Systems.

Die notwendige Größe des Steuersignals   ergibt sich zu (Herleitung siehe [Ott90]):

Oseledec-Matrix, -Theorem

P

Pfefferkuchenmann-Abbildung

2-dimensionale, stückweise lineare, konservative Abbildung:

Phasenraum

Vektorraum, der von einem vollständigen Satz von Systemvariablen aufgespannt wird. Jeder Punkt des Phasenraums beschreibt eindeutig einen Systemzustand.

Poincaré-Ebene, -Abbildung

Eine Poincaré-Ebene ist eine Ebene im Phasenraum eines dynamischen Systems. Man betrachtet die Durchstoßpunkte der Trajektorie durch diese Ebene und kann so ein komplizierteres dynamisches System auf ein etwas einfacheres zurückführen, z.B. um seine Dynamik besser zu visualisieren oder um die Dimension eines Attraktors zu bestimmen. Die Funktion, die einen Durchstoßpunkt auf den nächsten abbildet, heißt Poncaré-Abbildung (englisch oft "first return map"). Ein System, das z.B. einen 3-dimensionalen Phasenraum hat und dessen Dynamik durch eine 3-dimensionale Differentialgleichung beschrieben wird, läßt sich so auf eine Abbildung der reellen Ebene auf sich selbst reduzieren. Allerdings läßt sich in den meisten Fällen keine analytische Darstellung dieser Abbildungsfunktion finden, sondern sie läßt sich nur durch numerische Integration der Bewegungsgleichungen bestimmen. Es gibt aber auch einfache Fälle wie den sogenannten kicked rotator, in denen sich die Poincaré-Abbildung als einfache Funktion darstellen läßt [Schuster88].

.

Oft sind durch die Symmetrie des Systems bestimmte Poincaré-Ebenen ausgezeichnet. Beim Lorenz-Attraktor bietet sich zum Beispiel die hier dargestellte Ebene Z=27 an, die senkrecht zur Z-Achse steht und die beiden instabilen Fixpunkte C+ und C- in der Mitte der Attraktor-"Flügel" enthält. Diese Ebene wird bei jedem Umlauf der Trajektorie um einen der beiden Flügel einmal aus positiver Z-Richtung und einmal aus negativer Z-Richtung kommend geschnitten, so daß sich die insgesamt vier Äste a, b, c, d ausbilden.

Poincaré-Abbildung des getriebenen Pendels, die die Ebene t=0 auf sich selbst abbildet. Das linke Teilbild zeigt den Auslenkungswinkel nach Ablauf einer Antriebsperiode in Abhängigkeit vom Startpunkt des Pendels, das rechte die Winkelgeschwindigkeit, jeweils farblich codiert. Die Palette ganz rechts zeigt, welche Farbe zu welchem Wert von Winkel, bzw. Winkelgeschwindigkeit gehört.

Die Poincaré-Abbildung eines dissipativen Systems ist dissipativ, der Attraktor einer solchen Poincaré-Abbildung ist der Poincaré-Schnitt durch den Attraktor des zugrundeliegenden Systems, wie die folgende Abbildung illustriert:

Die ersten drei Iterationen der Poincaré-Abbildung P: (x₀, v₀) --> (x_t, v_t) des getriebenen Pendels. Oben links sind die 4 Quadranten der Poincaré-Ebene t=0 gleichmäßig eingefärbt. Auf jeden Punkt dieser Fläche wird nun die Poincaré-Abbildung dreimal angewendet. Rechts oben ist die erste Iteration zu sehen, links unten die zweite und rechts unten die dritte. Man erkennt, daß die Iterationen gegen den Poincaré-Schnitt mit dem Pendel-Attraktor konvergieren. (Außerdem erkennt man hier auch wieder, daß der Zusammenhang anfangs benachbarter Punkte  je nach Startgebiet mehr oder wenger schnell verloren geht).

Wenn man ein nicht-autonomes System numerisch integriert und eine Poincaré-Ebene senkrecht zur Zeitachse legt, so lassen sich die Durchstoßpunkte der Trajektorie problemlos erhalten, wenn man die Schrittweite des Integrationsverfahrens so wählt, daß die Zeit zwischen zwei Durchstößen ein ganzzahliges Vielfaches ist. Anders bei autonomen Systemen: hier liegt der Durchstoßpunkt in der Regel mitten in einem Integrationsintervall, so daß man im nächsten Stück den letzten Schritt mit einer kleineren Schrittweite wiederholen muß, u.U. sogar in mehreren Versuchen. Ein effektives Verfahren zur Bestimmung einer geeigneten Schrittweite ist in [Henon82] beschrieben.

Poincaré-Bendixson-Theorem

Q

QP-, QR-Zerlegung

Quantenchaos

R

Rabinovich-Fabrikant-Gleichungen

Dreidimensionales DGL-System

Rayleigh-Benard-Experiment

In diesem Experiment wird eine Flüssigkeitsschicht an der Unterseite beheizt und an der Oberseite gekühlt (Bratpfanne!). Bei geeigneter Wahl der Systemparameter Schichtgeometrie, Dichte, Viskosität und Wärmeleitfähigkeit der verwendeten Schicht sowie Größe des Temperaturgradienten, bilden sich in der Schicht Konvektionszellen aus. Das Temperatur- und Strömungsgeschwindigkeitsfeld dieser Zellen genügt drei Gleichungen: Navier-Stokes-Gleichung, Wärmeleitungsgleichung und Kontinuitätsgleichung. Durch eine Reihe von Vereinfachungen [Schuster88]  erhält man aus diesen Gleichungen die Lorenz-Gleichungen:  

Rekonstruktion eines Attraktors

siehe Delay-Koordinaten.

Repellor

Rössler-System

Dreidimensionales Gleichungssystem, das für bestimmte Bereiche der Systemparameter einen chaotischen Attraktor besitzt [Roessler76]:

Routen ins Chaos

S

Schmetterlingseffekt

So veranschaulichte E. Lorenz die sensitive Abhängigkeit von den Anfangsbedinungen (s. Chaos), die er in seinen Gleichungen fand. Dahinter steht die Vorstellung, daß die geringfügige Luftbewegung, die der Flügelschlag eines Schmetterlings verursacht, zu einer Wetterentwicklung führen kann, die sich völlig von der unterscheidet, die ohne diesen Luftzug stattgefunden hätte. (Um Mißverständnissen vorzubeugen: selbstverständlich ist das Wetter ein räumlich ausgedehntes, hochkomplexes System mit unüberschaubar vielen Einflußgrößen und deshalb nicht durch einen einfachen Satz von Gleichungen zu beschreiben. Es ist aber ein hydrodynamisches System und als solches den gleichen Regeln unterworfen, aus denen auch die Lorenz-Gleichungen hergeleitet sind).

Shadowing

Sinai-Billard

Stabilität, strukturelle

Ein dynamisches System heißt bei einem gegebenen Satz von Systemparametern strukturell stabil, wenn sich bei kleinen Änderungen dieser Systemparameter seine Dynamik qualitativ nicht ändert. Wenn jedoch in der Umgebung dieser Parameterwerte z. B. Attraktoren verschwinden und/oder neue entstehen, ist das System an diesem Punkt strukturell instabil. Solche qualitativen Änderungen heißen Bifurkationen. Ein typisches Beispiel für Bifurkationen sind die sogenannten Heugabelbifurkationen (engl. pitchfork bifurcations) oder Periodenverdopplungen, die z. B. die logistische Abbildung bei bestimmten Werten des Systemparameters r zeigt. Eine andere Art einer Instabilität ist die Hopf-Bifurkation, bei der aus einem Fixpunkt ein periodischer Orbit entsteht.

Steuerung von Chaos

T

Takens-Theorem

Tinkerbell-Abbildung

Zweidimensionale Abbildung:

xn+1 =	xn2 - yn2 + c1xn + c2yn
yn+1 =	2xnyn + c3xn + c4yn

 

Ein chaotischer Attraktor existiert z. B. bei den Parametern c₁=0.9, c₂=-0.6013, c₃=2.0, c₄=0.4:

Transientes Chaos

Trajektorie

Die Punkte, die ein dynamisches System in seinem Phasenraum im Laufe der Zeit durchläuft. Üblich ist der Begriff vor allem bei Systemen mit kontinuierlicher Zeitskala. Trajektorienstücke sind dort zusammenhängende Linien im Phasenraum, wie sie z.B. die Applets für das getriebene Pendel und das Lorenzsystem zeigen.

U

V

Van der Pol - Oszillator

Vorhersagbarkeit

Aufgrund der sensitiven Abhängigkeit von den Anfangsbedingungen läßt sich das Verhalten eines nichtlinearen Systems in der deterministisch-chaotischen Bewegungsphase nur für einen begrenzten Zeitraum vorhersagen. Je größer der größte Lyapunov-Exponent des Systems ist, desto kürzer ist im Mittel dieser Zeitraum. Er ist jedoch keineswegs konstant, sondern hängt systematisch von der momentanen Lage des betrachteten Systems im Phasenraum (genauer: von dem zu diesem Zustand und dem Vorhersagezeitintervall gehörenden größten effektiven Lyapunovexponenten) ab [Doerner93], [Doerner99]. Die stabilen Mannigfaltigkeiten der instabilsten periodischen Orbits und ihre nähere Umgebung bilden diejenigen Bereiche, für die Vorhersagen der geringsten Güte zu erwarten sind. Falls man in der Wahl der Zeitpunkte, zu dem Vorhersagen erstellt werden sollen, frei ist, läßt sich durch geschickte Wahl dieser Zeitpunkte eine erhebliche Verbesserung der Vorhersagegüte erreichen [Doerner94].

W

X

Y

Z

Zaslavskij-Abbildung

Zweidimensionale Abbildung:

Zeitreihenanalyse