Als erstes und einfachstes System mit nur einem Freiheitsgrad x und einem Kontrollparameter r betrachten wir die logistische Abbildung:

x_n+1 = rx_n(1-x_n).

Sie ist ein System mit einer diskreten Zeitskala n=1, 2, ... . Ausgehend von einem Startpunkt x₀ aus dem Intervall [0..1] erhält man durch fortgesetzte Anwendung der Abbildungsvorschrift eine Reihe von Werten, die abhängig vom Kontrollparameter r entweder gegen einen Fixpunkt x_F konvergiert, zwischen mehreren Fixpunkten alterniert oder völlig irreguläres, eben deterministisch-chaotisches Verhalten zeigt.

Anm.: Systeme mit diskreter Zeitskala können, auch wenn sie nur einen Freiheitsgrad haben, Chaos zeigen, während Systeme mit kontinuierlicher Zeitskala dazu mindestens 3 Freiheitsgrade haben müssen [Guckenheimer83]. Anschaulich läßt sich das so verstehen: Trajektorien kreuzen sich nie, weil ein Phasenraumpunkt eindeutig einen Systemzustand und damit dessen Entwicklung im nächsten Moment festlegt. Eine nicht divergierende Trajektorie kann dann in 2 Dimensionen nur gegen einen Fixpunkt oder einen Grenzzyklus konvergieren.

Die logistische Abbildung ist nichtlinear (quadratisch in x), rückgekoppelt (x_n+1 hängt von x_n ab) und bildet einen begrenzten Bereich des Phasenraums (das Intervall [0..1]) auf sich selbst ab. Dies sind drei notwendige Voraussetzungen für das Auftreten von Chaos.

An der logistischen Abbildung läßt sich eine der möglichen Routen ins Chaos demonstrieren, die Periodenverdopplungsroute. Solange r<r₁=3 ist, hat die logistische Abbildung neben dem instabilen trivialen Fixpunkt 0 einen Fixpunkt bei x_F =(r-1)/r . Bei r₁=3 wird der Betrag der Steigung der Parabel (also die erste Ableitung) in diesem Punkt größer als 1 und der Fixpunkt wird instabil. Die Folge der Bilder x_n alterniert jetzt zwischen zwei Werten. Bei noch größeren Werten von r kommt es zu weiteren solchen Bifurkationen. Die Werte  r_m , bei denen die Bifurkationen auftreten, folgen immer dichter aufeinander, und zwar gilt   mit der Feigenbaumkonstanten  = 4.6692016... . Oberhalb von r _inf = 3.57... läßt sich keine Ordnung in der Folge der x_n mehr feststellen, das Systemverhalten ist chaotisch. Allerdings findet man in dem chaotischen Band oberhalb r_inf periodische Fenster, z.B. einen 3-Zyklus bei r=3.83.

Mit der Substitution x = -z/r + 1/2 mit z aus [-r/2 .. r/2] wird die log. Abbildung zu z_n+1 = z_n² + (1-r/2)r/2 . Das ist ein Spezialfall der Abbildung, die der Mandelbrotmenge zugrundeliegt.

Literatur

Da die logistische Abbildung trotz ihrer einfachen Struktur wesentliche Eigenschaften chaotischer Systeme zeigt, dient sie in vielen Monographien als einführendes Beispiel. So wird sie z.B. in [Guckenheimer83], [Schuster88], [Leven89] oder [Ott93] ausführlich untersucht.