Lorenz-System
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Im Gegensatz zur logistischen Abbildung und zur Hénon-Abbildung beschreiben die Lorenzgleichungen ein zeitkontinuierliches System. Edward N. Lorenz stellte diese dreidimensionale Differentialgleichung als näherungsweise gültiges Modell zur Beschreibung des Rayleigh-Benard-Experimentes (siehe dort die Bedeutung der Parameter) auf [Lorenz63].

Setzt man zwei der Systemparameter auf die häufig gebrauchten Werte  = 10 und b = 8/3 und variiert den dritten, zeigt das System folgenden Weg ins Chaos [Sparrow82], [Jackson85]:

Für 0 < R < 1 ist der Ursprung (0,0,0) globaler stabiler Fixpunkt Bei R=1 wird dieser Fixpunkt instabil und es entstehen zwei neue stabile Fixpunkte C+ = ((b(R-1))1/2, (b(R-1))1/2 , R-1) und C- = (-(b(R-1))1/2, -(b(R-1))1/2, R-1). Die Attraktionsbasins dieser beiden Punkte werden durch die stabile Mannigfaltigkeit des Ursprungs von einander getrennt. Für R=Rho=13.926... enthält diese Mannigfaltigkeit einen homoklinen Orbit und ändert für R>Rho ihre Topologie dramatisch. Im oberen Halbraum des Phasenraums, Z>0, sind dann unendlich viele Blätter dicht geschichtet, die auf komplizierte Weise ineinander verwoben sind, s. Skizzen in [Jackson85]. Zugleich entstehen abzählbar unendlich viele instabile periodische Orbits. Bei R=24.74... verlieren die beiden Fixpunkte C+ und C- ihre Stabilität in einer Hopfbifurkation und der Lorenzattraktor entsteht.

Bedienung des Applets: Dargestellt ist ein (mit der Maus) frei drehbarer Phasenraumwürfel mit den Kanten -30<X<30, -30<Y<30, 0<Z<60 . In der Listbox links oben kann das darzustellende Objekt gewählt werden: ein Trajektorienstück auf dem Attraktor, einer von verschiedenen instabilen periodischen Orbits oder ein Trajektorienstück, das in der Nähe des homoklinen Orbits bei R=Rho startet. Bei letzterem  sieht man, daß die Trajektorie fast wieder ihren Startpunkt erreicht, dann aber doch auf den stabilen Fixpunkt C- zuläuft. Wählt man den Knopf ‘manual’, so lassen sich die Systemparameter in den rechten Feldern frei wählen (Tip: R in der Nähe der oben erwähnten interessanten Werte variieren). Mit der Option ‘slow PC’ wird ein kürzeres Trajektorienstück erzeugt, so daß die Drehung des Würfels mit der Maus flüssiger verläuft.

Das Lorenzsystem ist nicht für alle Werte von R > 24.74... chaotisch, sondern es existieren Bereiche mit stabilen periodischen Lösungen, die über Periodenverdopplungen in chaotische Bereiche übergehen. Ähnliche Fenster sind im Feigenbaumdiagramm der logistischen Abbildung zu sehen, allerdings treten die Periodenverdopplungen beim Lorenzsystem in Richtung abnehmender Werte von R auf. Hier die Parameter für 3 Fenster (alle aus [Sparrow82]), wobei P für eine Schleife um C+ und N für eine Schleife um C- steht:

 

R

Orbit

 

PPN-Verdopplung

99.65

PPNPPN

100.5

PPN

 

PPNN-Verdopplung

147.5

PPNNPPNN

160.0

PPNN

 

PN-Verdopplung

216.2

PNPNPNPN

222.0

PNPN

260.0

PN

350.0

PN

 

Wegen der Symmetrie der Lorenzgleichungen treten asymmetrische Orbits immer paarweise auf, d.h. zu einem asymmetrischen PN-Orbit existiert ein asymmetrisches Spiegelbild NP. Um diese Orbits im Applet zu betrachten, wählt man die Option ‘manual’, trägt den R-Wert ein (mit Dezimalpunkt, nicht Komma), läßt den Cursor im Feld R stehen und drückt einige Male die Enter-Taste, bis die Trajektorie auf dem periodischen Orbit angelangt ist. Je größer die Werte von R werden, desto weiter außerhalb der Koordinatenbox liegen die Orbits, da die beiden instabilen Fixpunkte in den “Flügelmitten” immer auf der Höhe Z=R-1 liegen. 

 

Andere dreidimensionale autonome Differentialgleichungssysteme, die auch chaotische Attraktoren besitzen, sind z.B. der Chua-Oszillator, das Rössler-System oder die Rabinovich-Fabrikant-Gleichungen.

 

Literatur

Neben der oben erwähnten (vergriffenen?) Monographie [Sparrow82] und dem Artikel [Jackson85] findet man auch wieder in [Guckenheimer83] oder [Schuster88] viele Informationen zum Lorenzsystem, das in [Lorenz63] zuerst beschrieben ist. In [Morioka78] und [Shimizu78] wird systematisch numerisch untersucht, in welchen Bereichen der Rayleighzahl periodische und in welchen Bereichen chaotische Lösungen existieren. In [Shimuzu79] wird im Grenzfall hoher Rayleighzahlen eine Methode vorgestellt, eine Erhaltungsgröße des (dissipativen!) Systems und daraus einen einfachen instabilen periodischen Orbit analytisch zu ermitteln. In [Froyland84] wird die Abhängigkeit des größten Lyapunov-Exponenten von der Raleighzahl numerisch untersucht. Für den Wert  = 10 wird die Abhängigkeit des Systemverhaltens von den beiden anderen Parametern in [Alfsen85] analysiert. In [Broggi90] wird vorgeschlagen, das System durch seine hierarchisch geordneten instabilen periodischen Orbits zu beschreiben. Auch [Franceschini93] verfolgt diesen Ansatz und ermittelt so die Hausdorff-Dimension und die topologische Entropie des Attraktors. In [Leonow87] wird analytisch der Bereich des Phasenraums eingegrenzt, in dem der Attraktor sich befindet. Einen mathematischen Existenzbeweis für homokline und heterokline Orbits des Fixpunktes im Ursprung des Lorenzsystems liefert [Spreuer93].

 


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